已知a+29b=9,求ab的最大值的多种方法

介绍通过代入法、三角换元瓠鲶陋啼法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+29b=9条件下的最大值。

工具/原料

函数最值有关知识

不等式和数学代换有关知识

1.问题提出

1、本文详细介绍通过代入法、三臻痨鹗鏊角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+29b=9条件下的最大值。

2、主要公式：1.(sina)^2+(cosa)^2=1。2.ab≤(a+b)^2/2。

2.直接代入法

1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

4.三角函数换元法

1、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

6.不等式法

1、不等式有很多公式，本题中套用不等式公式为：ab≤(a+b)^2/2.

8.构造函数法

1、构造关于a，b的二元函数，根据给定条件下多元函数通过偏导数来求解函数的最大值。

2、设函数f(a,b)=ab-λ(a+29b-9),则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-29λ,f'λ=a+29b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=λ,a=29λ。进一步代入得：29λ+29λ=9,即λ=9/58.则有a=9/2,b=9/58.ab的最大值=9/2*9/58=81/116。